Rätselforum

Du hast Recht, dass es einen Punkt im Dreieck gibt, der das Problem des Handlungsreisenden eliminiert. Und zwar gibt es so einen Punkt in jedem Dreieck, was noch zu beweisen wäre. Im gleichseitigen Dreieck fallen ja fast alle interessanten Punkte im Dreieck auf den Schwerpunkt. So auch dieser. Aber in anderen Dreiecken ist das nicht so. Es könnte aber auch noch sein, dass es mehrere andere Punkte im oder außerhalb des Dreiecks gibt, die alle Rundwege gleich lang werden lassen. Die Frage war, wie viele solcher Punkte es für ein vorgegebenes Dreieck gibt. Die Antwort auf die Anzahl sollte durch eine Konstruktion gegeben werden. Wenn deine Antwort ist, dass nur der Schwerpunkt im gleichseitigen Dreieck als vierter Punkt in Frage kommt, dann darf ich keinen Haken setzen.

Also wenn du der Meinung bist, dass es so einen Punkt nur im gleichseitigen Dreieck gibt, dann hätte gereicht, nachzuweisen ob AB=AC=BC ist, was konstruktiv sehr einfach ist. Im Fall AB=AC=BC gäbe es dann einen Punkt D, sonst keinen Punkt D.

Diese Antwort wäre aber falsch.

@Otmar:
„Es seien drei Punkte A, B und C gegebene, die nicht auf einer Gerade liegen.“

Wie schon angeführt können demzufolge die drei Punkte nur in einem
Dreieck (ABC) angeordnet sein. Fügt man nun einen vierten fiktiven
Ortspunkt (D) der aus dem Dreieck (ABC) resultiert hinzu, so sollen
alle möglichen Routen gleichlang sein.

Somit ergeben sich für die vier Ortspunkte (ABCD) nur drei mögliche Routen.

1. A – B – C – D – A
___ a__b__c__d

2. A – B – D – C – A
___ a__e__c__f

3. C – B – D – A – C
___ b__e__d__f


Demzufolge ist:
a + b + c + d = a + e + c + f
______ b + d = e + f

a + e + c + f = b + e + d + f
______ a + c = b + d

a + b + c + d = b + e + d + f
______ a + c = e + f

Daraus folgt: a + c = e + f = b + d

Demzufolge wären alle drei Wege z. B. 2(e + f) lang.

Des Weiteren ist:
b + d = e + f  d = e + f – b
a + c = e + f  c = e + f – a


Um das zu verdeutlichen, kann man um die Ortspunkte A und C Grundkreise
mit den Radien [f - b] und [f - a] ziehen, die mit der Strecke e von D entfernt sind.

Vergrößert man die beiden Grundkreise um die Ortspunkte A und C gleichmäßig, mit den Radien
r1= [f – b], und r2= [f – a], so ergeben sich z. B. die beiden Kreisschnittpunkte B und B´.


Würde man nun die Größe beider Grundkreise gleichmäßig verkleinern oder vergrößern,
so würden die Schnittpunkte hier B und B´ den Verlauf einer Linie beschreiben.

Für die beiden Ortspunkte A und C sind alle Schnittpunkte, die hieraus entstehen,
mögliche Ortspunkte für D.
Der Verlauf dieser Schnittpunkte beschreibt eine Hyperbel.

Das ist so ähnlich wie bei einer Gärtnerkonstruktion einer Ellipse. Da muss die Summe der beiden Radien
immer gleich sein und die möglichen Punkte liegen dann auf einer Ellipse.
Bei einer Hyperbel ist die Differenz der beiden Abstände von B zu A und B zu C immer konstant,
was auf den Schnittpunkteverlauf der beiden Kreise zutrifft.

Die Differenz der beiden Radien mit r1= [f - b] und r2= [f - a]

(e + f – b) – (e + f – a) = – b + a sind konstant unabhängig von e.

Das gleiche Procedere muss man nun auch für die Ortspunkte A und B sowie auch für B und C machen.

Das ganze Konstrukt, habe ich nun mal mit dem Geometrie Programm Geonext konstruiert.


Für die Ortspunkte A und B „Rote Grundkreise“
Für die Ortspunkte B und C „Blaue Grundkreise“
Für die Ortspunkte C und A „Dunkelgrüne Grundkreise“

Mit der „Reglerfunktion“, kann man die Kreise gleichmäßig vergrößern oder verkleinern,
sodass die Schnittpunkte in einer fetten Spur einer Hyperbel wandern.

So haben bspw. der orange (A) und der hellgrüne (C) Kreis paarweise immer den gleichen Abstand
zu ihren jeweiligen gleichfarbigen Grundkreisen.
Die paarweisen Schnittpunkte der Kreise zeigen immer eine Spur einer Hyperbel auf.
Die gesuchten Ortspunkte für D befinden sich auf den jeweiligen drei Hyperbeln
und deren Hyperbelschnittpunkt.

Hyperbel A/C "Grün"
Hyperbel A/B "Orange"
Hyperbel B/C "Blau"

Wenn aus einer anderen Betrachtungsweise, aus der Aufgabenstellung heraus
z. B. der Ortspunkt B schon der Hyperbelschnittpunkt (D) wäre, dann liegt der
Ortspunkt (B) auf der Hyperbel A/C. Dies angewandt auf die Ortspunkte A und B
sowie auch auf B und C, so würden sich somit vier Ortspunkte für (D) definieren lassen.

Ich hoffe, dass meine Konstruktion den Kriterien der Lösung entspricht.

Hyperbeln lassen sich nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren.
Es fehlt dann auch noch die Aussage über das Gesuchte. Zur Erinnerung, gesucht waren ja nicht der oder die möglichen vierten Punkte (mit D bezeichnet) sondern die Konstruktion sollte nur eine Aussage über die Anzahl solcher Punkte, bei gegebenen Punkten A, B und C liefern. Klar, wenn bei der Konstruktion alle Punkte D entstehen, braucht man die nur abzuzählen. Wahrscheinlich hast du das so gemeint.

D1=B wäre eine, D2=A eine zweite, D3=C eine dritte Möglichkeit für D. Nun hatte ich explizit von einem vierten Punkt D gesprochen und damit diese drei Möglichkeiten von vornherein ausgeschlossen. Und selbst wenn z.B. D1=B erlaubt wäre, wäre der Rundweg A->B->D1->C->A kürzer als A->B->C->D1->A.

Es bleibt also nur noch ein Punkt D in der Mitte des Dreiecks übrig. Gibt es so einen Punkt in jedem Dreieck? könnte es weitere Punkte D innerhalb oder außerhalb des Dreiecks geben? Das sollte aus der Konstruktion hervorgehen.

Wahrscheinlich reicht hier sogar die Annäherung der Hyperbel durch Linienzüge, da sich in diesem Fall die Hyperbeläste (es ist ja immer nur ein Ast der Hyperbel möglich) tatsächlich in D schneiden. Das zu beweisen ist aber auch nicht einfach. Würden sich die Hyperbeläste in einem Punkt nur berühren, müsste man diesen Punkt tatsächlich konstruieren oder zufällig erwischen, da sich sonst die Linienzüge mit der die Hyperbeläste angenähert werden weder berühren noch schneiden. Dann müsste man sich noch mit der Frage auseinandersetzen, wie gut und wie lang man die Hyperbel durch Linienzüge annähert. Es könnte ja sein, dass es einen Punkt D in großer Entfernung außerhalb des Dreiecks gibt. In dem Fall würde die Anzahl der Punkte, die zu konstruieren sind von den gegebenen Ausgangspunkten A, B und C abhängen und eventuell über alle Maßen wachsen, wenn so ein Punkt D sehr weit außerhalb von ABC liegt. Ich glaube, dass ist auch ein Problem beim Konstruieren, denn da geht man von einer endlichen Anzahl von zu konstruierenden Schnittpunkten aus.

@Otmar:
„D1=B wäre eine, D2=A eine zweite, D3=C eine dritte Möglichkeit für D. Nun hatte ich explizit von einem vierten Punkt D gesprochen und damit diese drei Möglichkeiten von vornherein ausgeschlossen. Und selbst wenn z.B. D1=B erlaubt wäre, wäre der Rundweg A->B->D1->C->A kürzer als A->B->C->D1->A“

Genauso ist das gemeint und wollte nur alle Varianten aufzeigen!
Bei jeder Variante, sind dann die Routen gleich lang und der
Ortspunkt „D“ wird von den Hyperbeln Schnittpunkt eindeutig konstruiert.

Aber mal abgesehen davon, dass D kein vierter Punkt ist, wenn er mit A, B oder C zusammenfällt (denn dann gibt es ja nur drei Punkte), wäre D = A oder D = B oder D = C keine Lösung des Problems. Angenommen es wäre D = A, dann wäre ein Rundweg von D nach A nach B nach C und zurück nach D genau so lang, wie der Umfang vom Dreieck ABC. Ein anderer Rundweg geht von D nach B nach A nach C nach D und wäre gleich DB + BA + AC + CD = (AB + AC) + (AB + AC) > AB + AC + BC wegen der Dreiecksungleichung (AB+AC > BC). Dieser Rundweg ist also in jedem Fall länger, als der Umfang von ABC. D.h. irgendwo muss in deiner Überlegung, dass D mit einem der Eckpunkte A, B oder C zusammenfallen kann, noch ein Fehler drin sein.

Zu den Hyperbelschnittpunkten. Mit der Methode die du oben vorgestellt hast, kann man die Hyperbelschnittpunkte selbst nicht konstruieren. Ggf. könnte man mit etwas Aufwand derart auf jedem Hyperbelast zwei Punkte konstruieren und durch Strecken verbinden und einen Hyperbelschnittpunkt annehmen, wenn sich diese Strecken schneiden. Leider ist es so, dass bei dieser Art der Konstruktion von vornherein nicht klar ist, wie viele solche Strecken konstruiert werden müssen, bis man sicher weiß, wieviel Punkte D möglich sind. Dennoch würde ich die Lösung akzeptieren, wenn du beschreiben kannst, wie viele Schnittpunkte mindestens und höchstens zu erwarten sind und wo man die in etwa konstruieren muss.

Es gibt drei verschiedene Rundwege durch alle 4 Punkte

ABCD
ABDC
ADBC

deren weitere Unterscheidung durch Startpunkt und Umlaufrichtung die theoretischen 4! Rundwege ergeben.

Faktisch sind diese Rundwege gleich lang, wenn

|BC|+|AD| = |BD|+|AC|
=> ABCD gleich lang wie ABDC
|AB|+|CD| = |AD|+|BC|
=> ABDC gleich lang wie ADBC
womit dann zwangsweise alle drei Rundwege gleich lang sind und somit zwangsweise
|AB|+|CD| = |BD|+|AC|

Umgeformt kann man schreiben

|AC|-|BC| = |AD|-|BD| = const.

woraus sich schlussfolgern lässt, dass C und D auf eine Hyperbelast mit Fokussen A und B liegen müssen.
Das gleiche gilt für B und D bezüglich A und C, und, wenn beides gilt, zwangsweise auch für A und D bezüglich B und C.

Beginne ich mit 3 Punkten A, B und C, so sind diese drei Hyperbeläste wohldefiniert, und D liegt auf einem ihrer Schnittpunkte (und, lässt sich durch Umformen zeigen, sind alle Bedingungen für die neuen Hyperbeläste mit Fokus D und A, B, oder C erfüllt).

Die Betrachtung zweier Hyperbeläste ist hinreichend, wie ich bereits belegt habe. Bei gleichschenkligen Dreiecken können die Hyperbeläste teils zu Geraden werden.



Ich lege nun meine Punkte ABC so vor mich hin, dass das Dreieck, das sie bilden, auf seiner längsten Seite liegt und die zweitlängste oben links (o.b.d.a, sonst spiegele ich; Abb. 1).

Mit dem Zirkel konstruiere ich |AC| - |BC| und |AB| - |BC| (Abb. 1) sowie die Seitenmittelpunkte Mab und Mac (Ich hätte D statt B als einen der Drei Punkte wählen sollen ... dann hätten wir jetzt Mad Mac Abb. 2, ohne Konstruktion, da trivial). Mit den Durchmessern 2b und 2c (Abb. 1) lege ich zwei Kreise um Mab und Mac. Aus diesen ermittele ich schon mal die zwei Scheitelpunkte Sab und Sac der beiden Hyperbeln.

Mit je zwei Tangenten (Abb. 3) von B an den Kreis um Mab mit Radius b bzw. von C an den Kreis um Mac mit Radius c konstruiere ich die Asymptoten gab1, gab2, gac1, gac2 der beiden Hyperbeln.

Für die folgende Diskussion müsste ich jeweils mit der Stetigkeit und der Monotonie der Hyperbel-Halbäste und ihrer ersten Ableitungen argumentieren - und das Achsensystem einmal nach AB und einmal nach AC ausrichten - ausführliche Betrachtungen spare ich mir mal an dieser Stelle.
Vereinfacht gesprochen: Am Scheitelpunkt (wenn die Hauptachse waagrecht liegt) ist die Steigung unendlich, sie nimmt streng monoton ab (oberer rechter Halbast), und ist stets größer als die Steigung der Asymptoten. Kippe ich die Hauptachse so, dass die Asymptote immer noch eine positive Steigung hat, so ändert sich prinzipiell nix außer der Unendlichkeit am Scheitelpunkt.

Mit dieser Argumentation lässt sich zeigen: Im Inneren des Dreiecks gibt es IMMER GENAU EINEN Schnittpunkt, d.h. einen möglichen Punkt D1.

Ferner: Außerhalb gibt es theoretisch bis zu zwei mögliche weitere Punkte, und zwar dann und GENAU dann, wenn sich zwei Asymptoten (Achtung: Nur die Halbgeraden!) irgendwo schneiden. Da ich diese mit Zirkel konstruiert habe, lässt sich auch deren Winkel zueinander bestimmen.
Aber:

- Es lässt sich zeigen, dass gab2 immer steiler ist als gac2 (da |AB| die längere Seite ist), so dass es unterhalb von AB keinen Schnittpunkt geben wird.
- gab1 und gac2 können sich schneiden, das ist im Einzelfall zu ermitteln.

Klitzekleine Ungenauigkeit: Ich habe noch nicht explizit bewiesen, dass sich die beiden Hyperbel-Halbäste, die sich an gab1 und gac2 annähern, nur einmal schneiden können.